X
تبلیغات
مهندس حسام فلاح آرانی - تابع

مهندس حسام فلاح آرانی

مشاوره درسی

فواید یادداشت برداری

     افزایش تمرکز و دقت

    افزایش یادگیری

   کاهش حجم مطالب

   مرور آسان تر و بیشتر

   افزایش قدرت حافظه

 


ادامه مطلب
+ نوشته شده در  یکشنبه بیستم شهریور 1390ساعت 13:16  توسط حسام فلاح  | 

رسم نمودار

Function Example

گام های زیر را در صورت لزوم انجام دهید:

۱- دامنه تابع را مشخص کنید.
۲- حد تابع را وقتی ایکس به سمت + و - بینهاِیت میل کند را بدست آورید.
۳- در صورتی که تابع دارای خطوط مجانب است، آن خطوط را مشخص کنید.
۴- محل برخورد منحنی تابع را با محورهای مختصات بدست آورید.
۵- ضابطه مشتق تابع را برابر با صفر قرار داده تا از حل آن معادله ، طول نقاط اکسترمم احتمالی بدست آید.
۶- جدول تغییرات تابع را تشکیل داده تا بازه هایی را که تابع در آن صعودی یا نزولی است بدست آید.
تذکر:اگر تابع در دامنه اش همواره صعودی یا همواره نزولی باشد و مشتق تغییر علامت ندهد، برای بدست آوردن اطلاعات بیشتر از تابع مشتق دوم گرفته تا جهت تقعر تابع و نیز شاید نقطه عطف تابع مشخص شود. محورهای مختصات را رسم نموده ، خطوط مجانب و کلیه نقاط بدست آمده را در صفحه مشخص نموده و با توجه به جدول تغییرات و جهت تقعر تابع، منحنی تابع را رسم کنید.

 

Absolute Value Function

Greatest Integer Function

 

+ نوشته شده در  یکشنبه بیستم شهریور 1390ساعت 11:57  توسط حسام فلاح  | 

روشهای دست یابی به برد توابع



روش اول:
به کمک تشکیل جدول تغییرات تابع.به این ترتیب که از معادله تابع مشتق می گیریم و جوابهای(0های)حقیقی آن را به دست می آوریم.سپس جدول تغییرات تابع را رسم می کنیم.تغییرات y برد تابع را نشان می دهد.
مثلا برای یافتن برد تابع به معادله یy=x^2-2x+3
مشتق تابع برابر میشه با 2x-2 که توی 1 برابر 0 میشه.علامت تابع در طرف راست 1 موافق علامت ضریب x^2 و در چپش مخالف علامت ضریب x^2 میشه.(اگه توی مشتق گیری یا تعیین علامت اشکالی دارید بفرمایید تا توضیح بدم).
در x=1 تابع برابر میشه با 2. پس در حقیقت تابع از +بینهایت میاد تا 2 و از 2 میره تا +بی نهایت.(اگه x رو - یا +بینهایت بگیرید y میشه مثبت بی نهایت. چون در بی نهایت بنابر قوانین حد،علامت تابع میشه همون علامت بزرگترین درجه در بی نهایت.).بنابر این برد تابع میشه بسته ی 2 تا باز بینهایت (چرا بسته؟چون تابع توی 2 تعریف شده یعنی جواب داره،(برد داره)

روش دوم:

(معکوس یابی) (توجه:فقط در مواردی قابل استفاده است که متغیر مستقل تابع با یک توان مثلا 1 یا 2 یا ... در معادله بیاید وگرنه در مرحله فاکتور گیری به مشکل بر میخوریم.)
از معادله تابع،x را بر حسب y بدست می آوریم.سپس حدود y را چنان پیدا می کنیم که x موجود باشد.
مثال:برد تابع به معادله y=(x-1)/(x+1) را بیابید.
حل:
دامنه تابع میشه R به جز منفی 1
حالا از روی معادله تابع:
xy+y=x-1 پس xy-x=-1-y و از اونجا (بعد از فاکتور گیری) x برابرمیشه با (منفی y منهای 1) تقسیم بر y-1 (وای مساوی 1 نباشد که مخرج 0 نشود) اگر y=1 نباشد،آنگاه x همواره وجود خواهد داشت پس برد تابع میشه همه اعداد حقیقی به جز 1.

روش سوم:
استفاده از اتحاد های ناقص(همون چیزی که پرنیان خانوم به عنوان مربع کامل ازش اسم بردن):
فرمولش اینه:
x^2+,-kx=(x+,-k/2)^2-k^2/4
مثال:مربع کامل کردن y=x^2-2x+3

حل: قسمت x^2-2x رو طبق فرمول بالا این طور می نویسیم:
(x-1) بتوان 2 منهای 1
بعد هم با سه جمعش می کنیم.به این ترتیب قسمت متغیردار تابع مربع می شود و باقیمانده مقداری است ثابت که برد گرفتن را ساده می کند.
اما بیان کوچه بازاری این میشه که یه پرانتز میذاریم و توش ایکس رو قرار میدیم بعد ضریب ایکس رو (در مثال بالامنفی2) نصف می کنیم ومیذاریم بعد از ایکس.پرانتز رو می بندیم. و یه توان دو میزاریم روی پرانتز بعد حاصل این پرانتز رو بدست میاریم.هر چی کم داشت اضافه می کنیم بعد از پرانتز.(یا اگه زیاد داشت کم می کنیم)بعد هم با سه که مال خودشه جمعش می کنیم.
حالا تعیین برد از این روش:
در مثال بالا کمترین مقدار (ایکس منهای یک) بتوان 2 ، صفر است وبیشترین مقدار ندارد.یعنی به سمت بینهایت میل میکند.پس کمترین مقدار تابع 2 است.(وقتی ایکس منهای یک بتوان دو صفر میشود)(طبق معادله ی جدید که از اتحاد بدست اومد).وبرد میشه 2 تا بینهایت.

روش چهارم:
آ سینوس ایکس+بی کسینوس ایکس بین رادیکال(آدو+بی دو) و منفیش قرار داره.

چند روش دیگه هم برای تعیین برد وجود داره که ان شاء الله وقتی جزوه م رو پیدا کردم براتون میذارم.(اونا کنکوریه خیلی توپه!)

اما چند تذکر در مورد برد تابع:(که میتونن به عنوان روش مورد استفاده قرار بگیرن):

1-برای تعیین برد،گاهی اوقات می توان شکل تابع را رسم کرد مثلا درجه دو ها را مربع کامل می کنیم.و با قواعد انتقال،اونها رو رسم می کنیم.حدود تابع روی محور y میشه برد.
2-اگر تابع اکیدا یکنوا باشد،به کمک دامنه می توان برد را معین کرد.x را یک بار به مثبت و بار دوم به منفی بینهایت میل میدیم.و حدود y رو بدست میاریم.

+ نوشته شده در  یکشنبه بیستم شهریور 1390ساعت 11:56  توسط حسام فلاح  | 

تابع ثابت

تابع را تابع ثابت می گوییم هر گاه برد آن یک مجموعه تک عضوی باشد. به عبارت دیگر تابع ثابت هر عضو از دامنه خود را تنها به یک مقدار ثابت متناظر می کند.
پس ضابطه تابع ثابت f از مجموعه A در مجموعه B را می توان به این صورت نوشت که در آن c مقداری ثابت و همان برد تابع f است.
به عنوان مثال تابع یک تابع ثابت است که هر عضو از دامنه خود(مجموعه اعداد حقیقی) را به عدد ثابت 2 متناظر می کند و عدد دو همان برد تابع است.
نمودار پیکانی زیر نحوه عملکرد تابع ثابت را نشان می دهد:
تصویر

مشاهده می شود این تابع هر عضو از دامنه(A) خود را به یک مقدار ثابت c متناظر می کند.
به عبارت دقیق تر تابع فوق یک تابع ثابت از مجموعه A به مجموعه تک عضوی {c} است که می توان این مطلب را اینگونه نوشت:
تابع با ضابطه
  • به دلیل اینکه در حساب دیفرانسیل و انتگرال معمولا با توابع حقیقی و اعداد حقیقی کار می کنیم تابع ثابت معمولا به این صورت تعریف می شود:
تابع با ضابطه را تابعی ثابت می گوییم. این تابع هر عدد حقیقی را به یک مقدار ثابت چون c متناظر می کند.
نمودار تابع یک تابع ثابت همواره یک خط موازی محور X ها است. به عنوان مثال نمودار تابع ثابت به این صورت است:
تصویر


 

  • بررسی ویژگی های توابع ثابت:


 

  • توابع ثابت توابعی غیر یک به یک می باشند.
برهان: تابع ثابت هر عضو از دامنه خود را به C متناظر می کند پس: که این نشان می دهد تابع ثابت یک به یک نمی باشد چرا که دو زوج مرتب با مولفه اول متمایز و با مولفه دوم یکسان در آن یافت می شود.


 

  • توابع ثابت معکوس پذیر نمی باشند.
برهان: می دانیم شرط لازم و کافی برای اینکه تابعی معکوش پذیر باشد این است که یک به یک باشد. حال آنکه تابع ثابت یک به یک نمی باشد. پس معکوس پذیر هم نمی باشد. به عبارت دیگر عمل معکوس یک تابع ثابت دیگر یک تابع نمی باشد.


 

  • تابع ثابت تابعی پوشا است.
برهان: تابع ثابت را در نظر بگیرید. برای اثبات پوشا بودن باید نشان داد:

حال در تابع ثابت داریم:
که این نشان می دهد برای هر عضو از برد یعنی C یک عضو از دامنه چون x وجود دارد که x به C متناظر شود یا به عبارتی که این دلیل بر پوشا بودن f است.


 

  • تابع ثابت زوج می باشند به استثنای تابع که هم زوج و هم فرد است.
برهان: تابع ثابت را در نظر بگیرید. دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی است. لذا شرط اولیه زوج یا فرد بودن تابع یعنی متقارن بودن دامنه را دارا است.
پس تابع مذکور زوج است.
حال تابع را در نظر بگیرید. داریم:

همچنین می توان نوشت:

پس تابع مذکور هم در شرط زوج بودن و هم در شرط فرد بودن تابع صدق می کند پس هم زوج و هم فرد است.
 
+ نوشته شده در  یکشنبه بیستم شهریور 1390ساعت 11:56  توسط حسام فلاح  | 

ضابطه ی توابع حقیقی

 

توضیح:

در میان نکات زیر، گاهی از شما خواسته می شود فعالیتی را انجام دهید، مطلبی را تعریف کنید یا به سوالی جواب دهید. سعی کنید جواب را در متن کتاب بیابید. اگر در متن کتاب جواب سوال صراحتاً بیان نشده بود، سعی کنید خودتان به سوال مطرح شده پاسخ دهید و اگر نتوانستید از معلمتان بپرسید. 

توجه:

دانش آموزان عزیز توجه کنید که مفاهیم فصل اول کتاب (فصل توابع) برای درک مطالب فصول بعد بسیار مهم هستند. در واقع مفهوم تابع اساسی ترین مفهوم حسابان است. برای یادگیری و تسلط بر مفاهیم مربوط به تابع باید وقت کافی گذاشت و تا حد امکان روی مسائل آن کار کرد.


نکات اصلی:

  1. مثالی برای ارائه ی مفهوم تابع: فرض کنید نام ۵ دانش آموز در دفتر نمره ی کلاس با اعداد ۱ تا ۵ مشخص شده باشد. وقتی می نویسیم (۱۷و۲) یعنی نفر شماره ی ۲ در امتحان ترم اول حسابان نمره ی ۱۷ گرفته است. کدام یک از مجموعه های زیر روش درستی برای نمایش نمرات حسابان است؟

    L032

  2. در مثال بالا، در مجموعه ی A برای نفر دوم هم نمره 16 و هم نمره ی 17 منظور شده است، که چنین چیزی ممکن نیست. در واقع در مجموعه ی A نمره ی نفر دوم مبهم است؛ اما در مجموعه ی B چنین ابهامی وجود ندارد و نمره ی هر کس کاملاً مشخص است.

  3. به مجموعه ای از زوجهای مرتب که هیچ ابهامی نداشته باشند (همانند B) یک تابع می گوییم. مجموعه ی A در مثال بالا تابع نیست(چرا؟). به طور دقیقتر:

  4. تعریف اول تابع (تعریف کتاب ریاضی 2): تابع مجموعه ای از زوجهای مرتب است که مولفه های اول هیچ دو زوجی با یکدیگر برابر نباشند (و اگر دو زوج با مولفه های اول پیدا کردیم، باید مولفه های دوم نیز برابر باشند. به طور مثال مجموعه ی L033یک تابع است.)

  5. تعریف دوم تابع (تعریف کتاب حسابان): تابع f از مجموعه ی D به مجموعه ی R قاعده ای است که به هر عنصر x از D به نام دامنه، عنصر منحصر به فرد (f(x از مجموعه ی R به نام برد را نظیر می کند.

    اگر شکل دیده نمی شود روی آن کلیک کنید

    توضیح 1: در تعریف بالا به کلمات قرمز رنگ توجه کنید. در یک تابع باید از همه ی عناصر دامنه استفاده شود و به هر x از D دقیقاً یک عنصر از R منسوب شده باشد. همچنین دقت کنید که لزم نیست )

    توضیح 2: دقت کنید که در یک تابع لازم نیست از همه ی عناصر R استفاده شود.

  6. تعاریف نکات ۴ و ۵ فرقی با یکدیگر ندارند.

  7. اینجا یا اینجا و در شکلی که می بینید، مشخص کنید از بین 5 رابطه کدام تابع است و کدام تابع نیست و چرا. (توجه کنید که جهت خطوط ار چپ به راست است.)

  8. تابع را می توان مانند یک ماشین تصور کرد که برای هر ورودی مجاز، یک خروجی منحصر به فرد دارد. (چرا؟)

  9. قرار دادها و نمادها: اگر f تابعی با دامنه ی D و برد R باشد می نویسیم:

    L034  یا  L035 و می خوانیم f تابعی با دامنه ی D و برد R است که هر x از D را به (f(x از R تصویر می کند. (در واقع خروجی x از دستگاه f را (f(x می نامیم.) به L036 یا L037 ضابطه یا قانون تابع f گوییم. دامنه ی f را گاهی با L038 و برد f را گاهی با L039نمایش می دهیم.

  10. چند مثال:

    (الف)  L040 
    تابعی است که هر عنصر مجموعه یL041را ابتدا در ۲ ضرب و سپس با ۱ جمع می کند. به طور مثال L042و L043 ( یعنی تصویر ۰ تحت تابع f عدد ۱ و تصویر عدد 1- تحت تابع f عدد 1- است) و ضابطه ی این تابع L044.

    (ب) L045 تابعی است که به هر عدد مثبت r، عدد L046 را منسوب می کند. به طور خلاصه می توان نوشت: L047 که L048؛ یعنی ضابطه ی S با دامنه ی L051 عبارت است از L047

    دقت کنید که این تابع مساحت هر دایره را به شعاع آن وابسته می کند و در این مثال مساحت دایره، تابعی است از شعاع آن، یعنی شعاع دایره (یا همان r) متغیری مستقل و مساحت دایره (یا همان S) تابعی از r است. در این حالت به خلاصه می نویسیم (S(r. به طور مثال اگر شعاع دایره ای 1 واحد باشد، آنگاه (S(1 مساحت این دایره یا همان L050است، زیرا

    L049

  11. لازم نیست که دامنه یا برد یک تابع زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی باشد. با چنین توابع پیشرفته ای در سالهای بعد آشنا خواهید شد. در حسابان معمولا توابعی را بررسی می کنیم که دامنه و برد آنها زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی است.

    تابع حقیقی تابعی است که برد آن زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی باشد. برای مشخص کردن یک تابع حقیقی کافی است دامنه و ضابطه ی آن را بدانیم «البته این ضابطه باید چنان باشد که برای هر عضو دامنه یک و تنها یک عنصر از برد را نظیر کند.»

    مثال: دو تابع معرفی شده در نکته ی 10، هردو تابعی حقیقی هستند.
  12. اگر یک معادله با دو متغیر به شما داده شده باشد، چگونه می توانید ثابت کنید که این معادله یک تابع را بر حسب یکی از متغیر ها مشخص می کند؟ به طور مثال کدام از معادلات زیر بر حسب x می تواند ضابطه ی یک تابع باشد و کدامیک نمی تواند و چرا؟ (سعی کنید دقیقا توضیح دهید.)

    L052

  13. (بسیار مهم) برای اینکه نشان دهیم L034 یک تابع است باید ثابت کنیم از فرض a=b (که a و b عناصری از D هستند)، می توان نتیجه گرفت که (f(a)=f(b (چرا؟).

    به طور مثال، ثابت می کنیم که تابع (ب) در نکته ی 10 واقعا یک تابع را نمایش می دهد. به روند منطقی زیر توجه کنید L053:

    L054

    روش دیگری نیز برای اثبات تابع بودن یک رابطه وجود دارد که آن را هنگام حل نمونه مسائل کتاب، توضیح خواهیم داد (به حل تمرین ۴ صفحه ی ۱۸ قسمت (ه) در همین جلسه مراجعه کنید). 

  14.  تابع چند ضابطه ای: بسیاری از توابع را یا نمی توان یا به راحتی نمی توان فقط با یک ضابطه تعریف کرد. توابع مهمی همچون «تابع علامت»، «تابع جزءصحیح»، «تابع دیریکله» و ... از این دست توابع هستند. تابع چند ضابطه ای را به طور دقیق تعریف و حداقل سه مثال از این توابع را ارائه کنید.
     




حل چند مساله از مسائل کتاب حسابان:


تمرین ۳ صفحه ی ۱۸:

توجه: به روش حل این تمرین دقت کنید و حل آن را کاملا یاد بگیرید. از ایده های به کار رفته در این تمرین، بعدها در فصل مشتق استفاده خواهد شد.

عبارت L059 را برای تابع های زیر پیدا کنید(توجه کنید که در این مساله، h مخالف صفر است):

الف) L055

ج) L056

حل مساله:

الف)

L057

ج)

L058

تمرین ۴ صفحه ی ۱۸:

کدام یک از معادلات (و روابط) زیر در اعداد حقیقی می تواند ضابطه ی یک تابع (بر حسب x) باشد؟

الف) L060

ج) L061

د) L062

ه) L063

 حل مساله:

(الف) فرض کنید x=0. بنابر این y=1 یا y=-1. یعنی اعضای مجموعه ی {(A={(0,1),(0,-1 هر دو عضوی از رابطه ی (الف) هستند. بنابر این رابطه (الف) یک تابع بر حسب x نیست. (بر حسب y چطور؟)

(ج) مشابه قسمت (الف) فرض کنید x=0. بنابر این y=0 یا y=2. یعنی (0,0) و (2و0) هر دو عضوی از رابطه ی (ج) هستند. بنابر این رابطه (ج) یک تابع بر حسب x نیست. (بر حسب y چطور؟)

(د) مشابه دو قسمت بالا اگر قرار دهید x=-1، نتیجه خواهد شد: y=-4 یا y=-2.  بنابر این رابطه (د) یک تابع بر حسب x نیست. (بر حسب y چطور؟)

ه) ثابت می کنیم این رابطه یک تابع بر حسب x است. برای این کار از تعریف اول تابع استفاده می کنیم، به این ترتیب که فرض می کنیم در این رابطه دو زوج مرتب L066 و L067 صدق می کنند که دارای مولفه های اول مساوی هستند، یعنی L068. ثابت می کنیم مولفه های دوم نیز برابرند؛ یعنی ثابت می کنیم L069.

ابتدا توجه کنید که

L064

 حال با توجه به توضیحات بالا می توان نوشت:

L065

تمرین ۸ صفحه ی ۱۹:

مجموع دو عدد مثبت ۵۰۰ است. اگر یکی از اعداد x باشد تابعی بنویسید، که حاصل ضرب آن دو عدد را به x وابسته کند.

حل مساله:

فرض کنیم x+y=500 و لذا y=500-x. تابع P را حاصل ضرب دو عدد x و y معرفی می کنیم. بنابر این:

L070



حل مسائل امتحانات نهایی هم موضوع با این جلسه:


۱- رابطه یL071را به صورت زوجهای مرتب بنویسید. آیا f یک تابع است؟چرا؟

ناحیه ی 2 زنجان، خرداد 81
بارم: 1 نمره

حل مساله:

ثابت کنید که {(f={(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0 و لذا f تابع نیست زیرا دارای زوجهایی با مولفه های اول برابر و مولفه های دوم نابرابر است.

2- اگر  L072یک تابع باشد، مقدار k را محاسبه کنید.

ناحیه ی 2 زنجان، خرداد 83
بارم: نیم نمره

حل مساله:

چون x=2 در هر دو ضابطه ی این تابع هست، بنابر این اگر x=2 را در هر دو ضابطه قرار دهیم باید به یک جواب برسیم (چرا؟) و لذا

L073

+ نوشته شده در  یکشنبه بیستم شهریور 1390ساعت 11:55  توسط حسام فلاح  | 

برد تابع

توضیح:

در میان نکات زیر، گاهی از شما خواسته می شود فعالیتی را انجام دهید، مطلبی را تعریف کنید یا به سوالی جواب دهید. سعی کنید جواب را در متن کتاب بیابید. اگر در متن کتاب جواب سوال صراحتاً بیان نشده بود، سعی کنید خودتان به سوال مطرح شده پاسخ دهید و اگر نتوانستید از معلمتان بپرسید.

 
تعریف برد و توضیحات مهم در این زمینه:

اگر برد تابع حقیقی f به طور صریح داده نشده و تنها ضابطه ی آن در دست باشد، منظور ما از جمله ی «برد تابع f را بیابید»، عبارت است از

«یافتن همه ی خروجی های (f(x که در اینجا x عضوی از دامنه ی f است»، به طور دقیق تر برای محاسبه ی برد تابع f باید مجموعه یL141را محاسبه کنیم.

   این تعریف نیز همانند تعریف دامنه، بسیار کلی است و قانونی همیشگی برای محاسبه ی برد همه ی توابع وجود ندارد. معمولاً یافتن برد یک تابع، حتی از محاسبه ی دامنه ی آن نیز مشکلتر است و گاهی احتیاج به محاسبات طولانی و نیز داشتن تجربه ی کافی در استفاده از قضایا و فرمولهای ریاضی دارد. ما فقط به چند مثال کلی بسنده می کنیم.

نکات اصلی:

  1. برد توابع چند جمله ای درجه ی 2:

    برای یافتن برد تابع L147(که x عددی حقیقی و a عددی مخالف صفر است)، کافی است عرض راس سهمی را به دست بیاوریم.می توان ثابت کرد که این عدد برابر است با L142(ثابت کنید). اگر L143 آنگاه L144 و اگر L145 آنگاه L146. به تصاویر زیر توجه کنید:

    برد چند جمله ای درجه ی 2

    به طور مثال برد تابع L148برابر است با L149 زیرا با توجه به نکات بالا L150.
  2. توابع چند جمله ای درجه ی فرد:

    اگر دامنه ی توابع چند جمله ای درجه ی فرد را R در نظر بگیریم (نه دامنه ای محدود)، آنگاه می توان ثابت کرد که برد نیز R است. (در واقع علت اصلی آن پیوستگی این توابع است که بعدها در دوره ی پیش دانشگاهی به وسیله ی قضیه ی مقدار میانگین اثبات می شود.) به عنوان مثال برد تابع  L151برابر است با R .

  3. توابعی که می توان به وسیله ی آنها x را بر حسب y محاسبه کرد:

    فرض کنید تابع (y=f(x را بتوان به صورت(x=g(y نوشت؛ یعنی x را بر حسب y محاسبه کرد. در اینصورت دامنه ی تابع جدید، برد تابع اصلی است. به مثالهای زیر توجه کنید:

    الف) برای یافتن برد تابع f با ضابطه ی L152 اعمال زیر را انجام می دهیم:

    L153

    بنابر این L154.

    به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :

    نکته: با همین روش ثابت کنید که اگر L155، آنگاه L156.

    ب) برد تابع L157

    ابتدا توجه کنید که L158. (دقت کنید که اگر قرار دهیم L159، آنگاه y=0.) می توان نوشت: L160. در نتیجه L161. چون دامنه ی تابع L162برابر است با R  و چون L158، بنابر این برد تابع  L157با L163 برابر خواهد بود.

    به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :

    ج) برد تابع L208

    باتوجه به این نکته که طرفین مثبت هستند، می توان نوشت:

    L209

    در عبارت آخر، زیر رادیکال باید نامنفی باشد و لذا L210. اما y>0 ، در نتیجه برد تابع f برابر است با L211.

    به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :

    د) برد تابع L164

    روش اول:

    به عبارت زیر توجه کنید:

    L165

    عبارت سمت راست یک معادله درجه ی 2 بر حسب x است. حال با توجه به دلتای این معادله، برای اینکه این معادله جواب داشته باشد باید L166 و لذا L167؛ در نتیجه خواهیم داشت: L168. (توجه کنید که اگر x=-1 آنگاه y=1 و اگر x=1 آنگاه y=-1.)

    روش دوم:

    با استفاده از اتحاد مربع دوجمله ای، می توان ثابت کرد که

    L169

    بنابر این L170و لذا L168.

    به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :


    ه) برد تابع L171

    می توان نوشت:

    L172

    عبارت آخر یک معادله درجه ی 2 بر حسب x است. حال با توجه به دلتای این معادله، برای اینکه این معادله جواب داشته باشد باید  L173. بنابراین خواهیم داشت: L174. (روش دیگر برای پیدا کردن برد این تابع، استفاده از مشتق است که به آن نمی پردازیم.)

    به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :

    نکته: مطلب بالا نشان می دهد که کمترین مقدار خروجی این تابع برابر است با L175. توجه کنید که اگر L176، آنگاه L177.

  4. توابع مثلثاتی:

    برد توابع (sin(x و (cos(x برابر است با L091 و برد توابع (tan(x و (cot(x برابر است با R. (چرا؟)

    به مثالهای زیر توجه کنید:

    الف) برد تابع L178

    می توان نوشت: L179. چون L180 بنابر این L181 و در نتیجه برای هر L075 خواهیم داشت L182، پس L183.

    ب) برد تابع L184

    در بخشهای بعدی حسابان خواهید دید که L185. اما بنابر نکته ی 4 می توان نوشت: L186، در نتیجه L187، پس L188. (توجه کنید که در این مثال و بعضی مثالهای بالا، به طور مخفیانه از قضیه ی مقدار میانگین استفاده شده است که این قضیه را در پیش دانشگاهی خواهید دید.)

    نکته ی مهم: ممکن است بعضی از دانش آموزان اینگونه استدلال کنند که چون L189 و L190، بنابر این L191 و در نتیجه L192.
    این استدلال درست نیست، زیرا برای هیچ x ی L193 برابر با 2 یا 2- نیست و لذا L194(دقت کنید)! در واقع به وسیله ی استدلال بالا فقط می توان نتیجه گرفت کهL195. همین ریزه کاریهاست که محاسبه ی برد بعضی از توابع را مشکل می کند.

    به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :

  5. تابع جزءصحیح:

    برد تابع جزءصحیح برابراست با L197. در حالت کلی برد تابع L196 زیر مجموعه ای از L197 است؛ اما فرمولی کلی برای محاسبه ی برد اینگونه توابع وجود ندارد.

    به مثالهای زیر توجه کنید:

    الف) برد تابع L198

    صورت و مخرج کسر  L199 همواره مثبت و صورت کسر از مخرج آن کمتر است. بنابر این L200 و درنتیجه بنابر خواص جزءصحیح برای هر L075، 0=(f(x  و لذا باید برد تابع f مجموعه ی تک عنصری {0} باشد.

    ب) برد تابع L202.

    می توان دید L203. چون L204 بنابر این L205. در نتیجه L206.

    ج) برد تابع L207

    روش محاسبه ی برد این تابع به راحتی به دست نمی آید. برای حدس زدن جواب درست، بد نیست که به شکل متوسل شویم و از آن برای استدلال درست استفاده کنیم. به شکل این تابع توجه کنید:


    حال با کمک شکل، می توان جواب را حدس زد و آن را به وسیله ی استدلال استنتاجی اثبات کرد.
+ نوشته شده در  یکشنبه بیستم شهریور 1390ساعت 11:54  توسط حسام فلاح  | 

دامنه ی تابع

در میان نکات زیر، گاهی از شما خواسته می شود فعالیتی را انجام دهید، مطلبی را تعریف کنید یا به سوالی جواب دهید. سعی کنید جواب را در متن کتاب بیابید. اگر در متن کتاب جواب سوال صراحتاً بیان نشده بود، سعی کنید خودتان به سوال مطرح شده پاسخ دهید و اگر نتوانستید از معلمتان بپرسید.

 
تعریف دامنه و توضیحات مهم در این زمینه:

اگر دامنه ی تابع حقیقی f به طور صریح داده نشده باشد و تنها ضابطه ی آن در دست باشد، منظور ما از جمله ی «دامنه ی تابع f را بیابید»، عبارت است از

«یافتن بزرگترین زیر مجمو عه ی R که برای هر x از آن مجموعه، (f(x عددی حقیقی باشد»، یعنی

0610.

   با توجه به گستردگی تعریف بالا، هیچ راه کلی و قانون عمومی برای یافتن دامنه ی همه ی توابع وجود ندارد. در این جلسه، توابع مهم را در چند دسته خدمتتان معرفی می کنیم و برای درک بیشتر، از هر کدام مثالهایی خواهیم آورد. البته ممکن است با بعضی توابع در دسته بندی زیر آشنا نباشید. اگر به چنین مواردی برخوردید از مطالعه ی آن صرف نظر کنید؛ در جلسات بعدی آنها را معرفی خواهیم کرد.


نکات اصلی:

  1. چند جمله ایها:

    اگر f چند جمله ای باشد، در این صورت دامنه ی آن R خواهد بود. به طور دقیق تر اگر

    L074

    آنگاه برای هر L075، مقدار خروجی (f(x نیز عددی حقیقی است و لذا L076. به عنوان مثال دامنه ی همه ی 5 تابع زیر R است:
    L077

    (توجه کنید که اولین تابع در مثال بالا که تابع ثابت 1 است، نیز یک چند جمله ای است. هر عدد حقیقی را یک چند جمله ای در نظر خواهیم گرفت.)

  2. توابع کسری

    برای یافتن دامنه ی توابع کسری، مراحل کلی زیر را انجام می دهیم:

    - دامنه ی صورت و مخرج را جداگانه محاسبه می کنیم.

    - اشتراک دامنه ی صورت و مخرج را به دست می آوریم.

    - اگر اعدادی که مخرج کسر را صفر می کنند وجود داشته باشند (ریشه های مخرج) آنها را از اشتراک به دست آمده در مرحله ی قبل حذف می کنیم تا دامنه ی تابع اصلی به دست آید.

    توضیح: در جلسات بعد، به این سوال پاسخ خواهیم داد که چرا باید مراحل بالا را برای به دست آوردن دامنه ی توابع کسری انجام دهیم.

    حال برای تمرین بیشتر، دامنه ی چند تابع کسری را به دست می آوریم.

    الف) L078

    بنابر نکته ی 1، دامنه ی صورت و مخرج هر دو R است. بنابر این اشتراک دامنه های صورت و مخرج نیز R خواهد بود. حال چون x=1 تنها ریشه ی مخرج است، لذا خواهیم داشت:

    L079

    ب) L080

    دامنه ی صورت و مخرج هر دو R است. بنابر این اشتراک دامنه های صورت و مخرج نیز R خواهد بود. حال چون x=2 و x=3 دو ریشه ی مخرج هستند، لذا خواهیم داشت:

    L081
    ج) L082

    دامنه ی صورت و مخرج هر دو R است. بنابر این اشتراک دامنه های صورت و مخرج نیز R خواهد بود. حال چون مخرج ریشه ندارد، لذا دامنه ی تابع h همان R است.

    د) L083

    دامنه ی صورت در قسمت (ب) به دست آمد. دامنه ی مخرج نیز بنابر نکته ی 1 برابر است با R. پس اشتراک دامنه ها برابر است با L086. اما x=-1 تنها ریشه مخرج است، در نتیجه L084.

    توجه: در مثال (د) نمی توان بدون دقت به اصطلاح با دور به دور-نزدیک به نزدیک کردن، تابع را ساده و سپس دامنه را محاسبه کرد، به طور دقیق تر، تابع مثال (د) با تابع L085 برابر نیست. (چرا؟)

  3. توابع رادیکالی با ریشه ی زوج:

    برای یافتن دامنه ی توابع رادیکالی با ریشه ی زوج، مراحل کلی زیر را انجام می دهیم:

    - دامنه ی تابع داخل رادیکال را محاسبه می کنیم.

    - تابع داخل رادیکال را تعیین علامت می کنیم، یعنی مجموعه ی همه اعدادی را به دست می آوریم که برای هر عدد از آن مجموعه، عبارت داخل رادیکال، نامنفی (برزگتر یا مساوی صفر) شود .

    - اشتراک دو مجموعه ی به دست آمده از مراحل بالا را محاسبه می کنیم، تا دامنه ی تابع اصلی به دست آید.

    حال برای تمرین بیشتر، به چند مثال زیر توجه کنید:

    الف) L087

    دامنه ی تابع زیر رادیکال، R است. اگر عبارت زیر رادیکال را تعیین علامت کنیم(به همان روشهایی که در فصل اول ریاضی 2 آموختیم)، نتیجه خواهیم گرفت که مجموعه ی همه اعدادی که عبارت داخل رادیکال را نامنفی می کند عبارت است از L088. بنابر این با محاسبه ی اشتراک R و L088نتیجه می شود: L089.

    ب) L090 

    بنابر نکته ی 1، دامنه ی تابع زیر رادیکال، R است. اگر عبارت زیر رادیکال را تعیین علامت کنیم(به همان روشهایی که در فصل اول ریاضی 2 برای تعیین علامت عبارات درجه ی 2 آموخته ایم)، نتیجه می شود که مجموعه ی همه اعدادی که عبارت داخل رادیکال را نامنفی می کند عبارت است از L091. با محاسبه ی اشتراک R و L091نتیجه می شود: L092
     
    ج) L093

    دامنه ی عبارت داخل رادیکالL094
     است. با تعیین علامت تابع زیر رادیکال، مجموعه ی همه اعدادی که این تابع را نامنفی می کند عبارت است از L095. حال با اشتراک L094 و  L095نتیجه می شود: L096.

  4. توابع رادیکالی با ریشه ی فرد:

    برای یافتن دامنه ی توابع رادیکالی با ریشه ی فرد، فقط کافی است دامنه ی تابع زیر رادیکال را به دست آوریم تا دامنه ی تابع اصلی به دست آید. (چرا؟) به طور مثال دامنه ی تابع L097با دامنه ی تابع L098برابر است و در نتیجه دامنه ی f برابر است با L094.

  5. تابع قدر مطلق:

    دامنه ی تابع L099به وضوح R است. در حالت کلی، دامنه یL100(قدر مطلق (g(x ) برابر است با دامنه ی تابع (g(x . به طور مثال دامنه ی تابع L101( قدر مطلق L098 ) با دامنه ی تابع L098، یعنی L094، برابر است.

  6. تابع جزء صحیح:

    دامنه ی تابع L102برابر است با R . در حالت کلی، دامنه L103 (جزء صحیح (h(x ) برابر است با دامنه ی تابع (h(x . به طور مثال دامنه ی تابع L104( جزء صحیح  L098 ) با دامنه ی تابع L098، یعنی ،L094 برابر است.

  7. تابع لگاریتم:

    دامنه ی تابع L120برابر است با  اعداد حقیقی مثبت. (توجه کنید که a عددی مثبت و مخالف 1 است.) در حالت کلی، دامنه L119 ( a عددی مثبت و مخالف 1 ) برابر است با L116. به دو مثال زیر توجه کنید:

    الف) L114

    با توجه به نکته ی بالا، دامنه ی این تابع، x هایی در دامنه ی L112 است که به ازای آن x ها داشته باشیم  L118. چون دامنه ی تابع L112، همان R است، لذا با تعیین علامت تابع L112 خواهیم داشت: L110.

    ب) L109

    پایه ی لگاریتم باید مثبت و مخالف ۱ باشد؛ در نتیجه x باید درL108 تغییر کند. از طرف دیگر عبارت روبروی لگاریتم نیز باید عددی مثبت باشد (این عبارت را تعیین علامت کنید). بنابر این L123.

  8. تابع نمایی:

    دامنه ی تابع L105برابر است با R (توجه کنید که a عددی مثبت و مخالف 1 است). در حالت کلی، دامنه L106 (a به توان (g(x ) برابر است با دامنه ی تابع (g(x . به طور مثال دامنه ی تابع L107 ( 2 به توان  L098 ) با دامنه ی تابع L098، یعنی L094، برابر است.

  9. توابع مثلثاتی:

    - دامنه ی دو تابع (sin(x و (cos(x برابر است با R.

    - دامنه ی تابع (tan(x برابر است باL111.

    - دامنه ی تابع (cot(x برابر است با L113.

  10. توابع معکوس مثلثاتی:

    - دامنه ی (Arcsin(x (یا L115 ) و (Arccos(x (یا L117 ) برابر است با L091.

    - دامنه ی (Arctan(x (یا L121 ) و تابع (Arccot(x (یا L122 ) برابر است با R.


  11. توابع چند ضابطه ای:

    برای محاسبه ی دامنه ی توابع چند ضابطه ای، کافی است اجتماع دامنه های تک تک ضابطه ها را که معمولا روبه روی آن نوشته می شود، محاسبه کنیم. به ۴ تابع زیر توجه کنید و سعی کنید با استفاده از نکته ی گفته شده، دامنه ی آنها را به دست آورید.

    L124

    - برای دیدن دامنه ها اینجا را کلیک کنید.

  12. مهم: توابعی که به صورت حاصل جمع یا حاصل ضرب چند تابع دیگر هستند

    برای محاسبه دامنه ی این توابع، ابتدا دامنه ی تک تک توابع موجود در آن را محاسبه و سپس اشتراک همه ی این دامنه ها را حساب می کنیم تا دامنه ی تابع اصلی به دست آید. برای مثال، دامنه ی توابع زیر را به دست آورید:

    الف) L126

    جواب: L127

    ب) L128

    جواب: L129

    ج) L130

    جواب: L131 (بنابر این دامنه ی این تابع، مجموعه ی تک عنصری است.)

    د) L132

    جواب: L133 (بنابر این دامنه ی این تابع، تهی است. چنین توابعی را معمولاً تابع تهی گوییم.)

  13. پیدا کردن دامنه ی تابع از روی شکل آن:

    اگر شکل تابع در دست باشد، می توان از هر نقطه ی شکل، عمودی بر محور x ها وارد کرد تا برای هر نقطه ی روی شکل نقطه ای متناظربا آن روی محور x ها به دست آید. مجوعه ی نقاط به دست آمده روی محور x ها، همان دامنه است. ارائه ی مثال را به دبیران محترم واگذار می کنیم.


مثالهای دیگر:


با کلیک کردن روی اینجا یا اینجا بیش از ۲۰ تابع مختلف را مشاهده خواهید کرد که دامنه ی هر یک بدون هیچ توضیحی رو به روی آن نوشته شده است (منظور از D همان دامنه است). به دانش آموزان عزیز اکیداً توصیه می کنم که سعی کنند با توجه به نکات گفته شده در این جلسه، دامنه ها را محاسبه و آنرا با جواب ذکر شده مقایسه کنند. (بعضی از این توابع از کتاب «جبر و آنالیز» استاد گرانقدر «آقای احمد قندهاری» که در سال 1367 منتشر شده، اقتباس گردیده است.)


حل چند مساله از مسائل کتاب:


تمرین ۹ صفحه ی ۱۹:

دامنه ی هر یک از توابع حقیقی زیر را در صورت امکان با استفاده از نماد بازه ها پیدا کنید.

ب) L136

و) L137

ز)  L138

حل مساله:

ب) داخل رادیکال باید از صفر بزرگتر باشد؛ پس از تعیین علامت تابع داخل رادیکال، دامنه، بازه ی L139 خواهد بود.

و) داخل رادیکال باید از صفر بزرگتر یا مساوی باشد؛ بنابراین پس از تعیین علامت تابع داخل رادیکال، دامنه عبارت است از L140.

ز) اجتماع دامنه های روبه روی سه ضابطه را حساب کنید. بنابر این دامنه عبارت است از R.

+ نوشته شده در  یکشنبه بیستم شهریور 1390ساعت 11:53  توسط حسام فلاح  | 

مفاهیم تابع به روش شهودی

تكامل مفهوم تابع حدود دو قرن به طول انجاميد . ديريكله ، رياضي دان آلماني( 1859 – 1805 م )، در اواسط قرن نوزدهم تعريف امروزي تابع را به صورتي روشن بيان كرد و گفت : « y تابعي از متغير x در بازه a < x < b است؛ به شرطي كه هر مقدار x از اين بازه با مقدار معين و مشخص از y ‌متناظر باشد ؛ البته، اين تناظر مي تواند به هر ترتيب دلخواهي باشد.»

پيش از اين تعريف ، براي نخستين بار ، مقدار متغير ( تابع ) در قرن هفدهم و در نوشته هاي هندسي فرما ( 1655 – 1601 م ) و دكارت ، رياضيدان فرانسوي ، مطرح شد .براي مثال ، دكارت در كتاب هندسه خود مفهوم تابع را به عنوان " تغيير عرض در نتيجه تغيير طول " بررسي مي كند.

در قرن هجدهم يوهان برنولي ( 1748- 1667 م ) ديدگاه جديدي را نسبت به تابع مطرح مي كند . او مي گويد : « تابع به عنوان دستوري است كه مقدار يك متغير را با مقدار متغير ديگر در نظر مي گيرد.»

در سال 1748 لئوناردا ويلر ، شاگرد يوهان برنولي ، نماد f) Function) را براي تابع در نظر گرفت و آن را از ديدگاه تحليلي به صورت زير مطرح كرد:

« تابع يك متغير ، عبارت است از يك عبارت تحليلي كه به نحوي از اين مقدار متغير و از عددها يا مقدارهاي ثابت تشكيل شده است.»

بنابراين، رياضيدانان پس از گذشت دو قرن توانستند مفهوم تابع را به صورت امروزي آن كامل كنند. پس چه بهتر است ما معلمان اين مفهوم را با حوصله بيشتري براي دانش آموزان مطرح كنيم. استدلال هاي شهودي تا حدود زيادي مي توانند به ما كمك كنند.

معرفي مفهوم تابع با شهود

همان طور كه گفتيم تعريف تابع به صورت امروزي بين رياضيدانان رايج نبود بلكه همه آنان تصوير ذهني مشتركي از اين مفهوم داشتند. چه بهتر كه براي تدريس مفهوم تابع از آن تصور ذهني مشترك رياضي دان ها استفاده كنيم و دانش آموزان را مانند رياضيدان ها با مفهوم تابع درگير كنيم تا در مرحله آخر خودشان به تعريف امروزي تابع برسند.

تصور ذهني مشترك همه رياضيدان ها اين بود كه تابع مانند يك ماشين عمل مي كند ، به طوري كه يك x را از ورودي مي گيرد و تنها يك مقدار y از خروجي بيرون مي دهد. پس مي توان ابتدا از مدل زير براي بيان مفهوم تابع استفاده كرد:

AWT IMAGE

چون ماشين f عملي را روي x انجام مي دهد، مي توان عمل انجام شده روي x را با (f(x نمايش داد . بنابراين مي توان در خروجي به جاي y از نماد (f (x استفاده كرد:

AWT IMAGE

مثال روزمره از تابع

قيمت نان را معمولا بر حسب قيمت هر كيلوگرم آرد محاسبه مي كنند . جدول 1 قيمت گذاري نان را در سال هاي 1358 تا 1382 نشان مي‌دهد:

سال
(ريال )قيمت آرد
(ريال)قيمت نان
1357
50
10
1362
100
20
1366
200
40
1370
500
100
1374
1000
200
1378
1500
300
1382
2000
400

بيشتر كاربردهاي رياضي مستلزم استفاده از عددها و متغيرها براي بيان رابطه هاي موجود در دنياي واقعي اطراف ما و زندگي روزمره است . با توجه به جدول 1، فرض كنيم قيمت هر كيلوگرم آرد در سال هاي مشخص شده x ريال و قيمت نان در سال متناظر با آن y ريال باشد . در اين صورت جدول 1رابطه اي را بين x و y بيان مي كند . اين رابطه ، نمونه اي از تابع رياضي است . زيرا براي هر x ( قيمت هر كيلوگرم آرد ) فقط يك قيمت متناظر y ( قيمت نان ) وجود دارد كه براي خريد هر عدد نان پرداخت مي شود . در حقيقت جدول بالا قاعده اي را براي محاسبه قيمت نان در سال هاي مختلف نشان مي دهد . با كمي دقت در اين جدول مي توانيد رابطه x ( قيمت هر كيلوگرم آرد ) و y ( قيمت هر عدد نان ) را بيان كنيد . اين رابطه، قاعده اي را نشان مي دهد كه ضابطه تابع ناميده مي شود.

حالا آيا مي توانيد حدس بزنيد كه اگر در سال 1386 قيمت آرد 3 هزار ريال باشد، قيمت هر عدد نان در آن سال چقدر خواهد بود ؟ يا اگر قيمت نان در يك سال 5 ريال باشد ، قيمت آرد در آن سال چقدر خواهد بود ؟ آيا مي توانيد رابطه x و y را با نماد رياضي بنويسيد ؟

تعريف تابع قيمت نان

تابع f ، قاعده اي است كه روي مجموعه D تعريف مي شود به طوري كه به هر x متعلق به D ، يك عدد مشخص f(x) را نسبت مي‌دهد.

عدد f(x) ، مقدار تابع f را به ازاي x نشان مي دهد . كلمه قاعده كه در تعريف بالا به آن اشاره شد،‌مي تواند با يك جدول ، ‌يك فرمول ، يك نمودار يا حتي با يك جمله مشخص شود. به طوري كه با استفاده از آن ،‌ مقدار f(xي x داده شده مشخص مي شود . معمولا از x براي نشان دادن متغير و از f براي نشان دادن تابع استفاده مي كنيم.

همچنين مي توانيم از حروف ديگري كه دوست داريم يا در وضعيت خاصي مناسب تر است، استفاده كنيم.

در تابع قيمت نان كه ذكر كرديم، مجموعه D از همه مقادير ممكن براي قيمت هر كيلوگرم آرد در سال هاي مختلف تشكيل شده است:

D = {50، 100، 200، 1000، 1500، 2000}  

كه آن ها را با x مشخص كرديم . با معلوم بودن x در ستون دوم جدول، به راحتي مي توان قيمت متناظر هر عدد نان يعني f(x) را از ستون سوم پيدا كرد . بنابراين داريم :

10= (50) f

20= (100) f

40= (200) f

100= (500) f

200= (1000) f

300= (1500) f

400= (2000) f

با توجه به برابري هاي بالا ملاحظه مي كنيد كه قيمت نان در حقيقت يك پنجم قيمت آرد است و اين همان قاعده اي است كه قيمت گذاري هر عدد نان را بر حسب قيمت هر كيلوگرم گندم نشان مي دهد ، بنابراين : x 5/1 = f(x. به اين قاعده، ضابطه تابع گفته مي شود. مي توانيم براي نشان دادن تابع قيمت نان ، اطلاعات جدول 1را با نمودار زير نشان دهيم .

AWT IMAGE

در زندگي روزمره مي توان مثال هاي فراوان ديگري را براي بيان مفهوم تابع بيان كرد . براي مثال نمره درس رياضي دانش آموزان ، تابعي از مدت زمان مطالعه آنها است .

مثال زيست شناختي تابع

وزن طبيعي هر شخص مي تواند تابعي از طول قد همان شخص باشد ( مجذور قد بر حسب متر * 22= وزن طبيعي بر حسب كيلوگرم ) . مدت زمان ترميم يك زخم در بدن ، تابعي از ساخت سلول هاي جديد و ساخت سلول هاي جديد تابعي از پروتئين هاي لازم براي ساخت سلول هاست .

مثال رياضي تابع

مساحت ( A ) دايره اي به شعاع r از قاعده A= p r 2 به دست مي آيد :

AWT IMAGE

به طور معمول اين فرمول را با نماد تابعي به صورت A(r)= p r 2 مي نويسيم تا مشخص شود ، مساحت دايره A ، به شعاع دايره r وابسته است . هر چه شعاع بزرگ تر شود ، مساحت بزرگ تر مي شود . بنابراين شعاع، هر عدد دلخواه نامنفي مي تواند باشد ، اما مساحت همواره به شعاع دلخواه مستقل وابسته است . از اين رو، شعاع يعني متغير r را در اين تابع متغير مستقل و A را متغير وابسته مي گوييم .

مثال فيزيكي تابع

اگر سنگ ريزه اي از بالاي برجي به طرف پايين رها شود و شتاب جاذبه 9.8/s 2 = g باشد ، در اين صورت سرعت( به طرف پايين ) V بعد از t ثانيه و فاصله پيموده شده d از موقع رها شدن پس از t ثانيه ، از رابطه هاي زير به دست مي آيد :

V(t)= 9.8t

d(t)= 4.9t 2

همان طور كه ملاحظه مي كنيد V و d هر دو تابع هايي از t هستند . در اين دو تابع t متغير مستقل و v و d هر دو متغيرهاي وابسته به t هستند .

تركيب دو تابع

AWT IMAGE

تابع وارون

AWT IMAGE

تابه وارون f تابعي است كه عمل f را خنثي مي كند ، پس -1 (x)=x fof

AWT IMAGE

مثال : تابع وارون تابع ها باضابطه هاي زير را به دست آوريد .

AWT IMAGE

حد تابع در يك نقطه

حد تابع در يك نقطه را در دو حالت بررسي مي كنيم .

1- تابع در نقاط توپر داراي حد است فرض كنيم ( x,y ) A نقطه اي از نمودار تابه با ضابطه y=f(x) باشد ، حد تابع f در نقطه اي به طول x برابر با y است .

AWT IMAGE

2- وضعيت حد تابع در نقاط توخالي به صورت زير است :

الف ) اگر نمودار f در سمت چپ نقطه توخالي موجود باشد ، آن گاه تابع در اين نقطه داراي حد چپ است .

ب ) اگر نمودار تابع f در سمت راست نقطه توخالي موجود باشد ، آن گاه تابع در اين نقطه داراي حد راست است .

ج) اگر نمودار تابع در دو طرف نقطه توخالي موجود باشد ، يعني نمودار تابع در نقطه توخالي بريدگي نداشته باشد ، آن گاه تابع در اين نقطه داراي حد راست و چپ برابر است كه در اين حالت مي گوييم ، تابع در اين نقطه داراي حد است .

AWT IMAGE

پيوستگي تابع در يك نقطه

نمودار تابع y=f(x را در نظر  مي‌گيريم:

• نقطه توپر را مقدار تابع مي گوييم.

• اگر حد چپ و مقدار در يك نقطه بر هم منطبق شوند ، آن گاه تا بع در آن نقطه پيوستگي چپ دارد.

• اگر حد راست و مقدار تابع در يك نقطه بر هم منطبق شوند ، آن گاه تابع در آن نقطه پيوستگي راست دارد.

• اگر مقدار تابع و حد تابع در يك نقطه بر هم منطبق شوند ، آن گاه تابع در آن نقطه پيوسته است.

مشتق پذيري تابع در يك نقطه

تابع f در x مشتق پذير است ، هر گاه:

الف ) تابع f در x پيوسته باشد.

ب ) در نقطه x فقط و فقط يك خط مماس بر منحني تابع f وجود داشته باشد . (اين خط مماس بايد موازي محور عرض ها نباشد)

سؤال : تابع f در چه نقاطي مشتق پذير نيست ؟

الف ) در نقاطي كه تابع در آن ها ناپيوسته باشد .

ب ) در نقاطي كه دو خط مماس بر منحني f وجود داشته باشد. ( نقطه زاويه دار منحني )

AWT IMAGE

ج ) در نقاطي كه خط مماس بر منحني f موازي محور عرض ها باشد.

AWT IMAGE

تابع اكيدا صعودي و نزولي

تابع پيوسته f را وقتي اكيدا صعودي مي گوييم كه هر گاه روي شكل از چپ به راست حركت كنيم ، هميشه به طرف بالا برويم.

AWT IMAGE

تابع پيوسته f را اكيدا نزولي گوييم كه هر گاه رو شكل از سمت چپ به راست حركت كنيم ، هميشه به طرف پايين برويم.

AWT IMAGE

تابع صعودي و نزولي

تابع پيوسته f را وقتي صعودي گوييم كه هر گاه روي شكل از سمت چپ به راست حركت كنيم ، هميشه به طرف بالا برويم يا موازي محور x ها حركت كنيم .

AWT IMAGE

تابع يوسته f را وقتي نزولي مي گوييم كه هر گاه روي شكل از سمت چپ به راست حركت كنيم ، هميشه به طرف پايين بر.يم يا موازي محور x ها حركت كنيم.

AWT IMAGE

اكسترمم نسبي تابع

• نقطه اي به طول x متعلق به D 1 را طول نقطه ماكزيمم نسبي تابع f گوييم ، هر گاه:

الف ) در همسايگي x نمودار تابع f موجود باشد.

ب ) عرض نقطه x بزرگ تر يا مساوي با عرض نقطه همسايگي باشد.

AWT IMAGE

• نقطه اي به طول x متعلق به D 1 را طول نقطه مي نيمم نسبي تابع f گوييم ، هر گاه:

الف ) در همسايگي x نمودار تابع f موجودد باشد.

ب ) عرض نقطه x كوچك تر يا مساوي با عرض نقطه همسايگي باشد.

AWT IMAGE

اكسترمم مطلق تابع

بالاتر نقطه نمودار تابع را ماكزيمم مطلق و پايين ترين نقطه نمودار f را مي نيمم مطلق تابع مي‌وييم.

تذكر : اگر اكسترمم مطلق ،‌همسايگي داشته باشد ، آن گاه اكسترمم نسبي تابع هم خواهد بود.

AWT IMAGE

+ نوشته شده در  یکشنبه بیستم شهریور 1390ساعت 11:52  توسط حسام فلاح  |